8. Grawitacyjny defekt masy układu dwóch ciał - ilościowo.

Celem naszym jest zbudowanie matematycznej definicji defektu masy układu dwóch ciał (punktów materialnych). Na jego istnienie zwróciłem uwagę już na początku tego eseju. Dla ciągłości wywodów warto tam na chwilkę powrócić. Oczywiście mowa tu o oddziaływaniu grawitacyjnym. Niech układ (izolowany) stanowią dwa punkty materialne, przy tym ich masa spoczynkowa, w tradycyjnym pojmowaniu, w związku z ich niezmiennością (nie są to na przykład zapadające się gwiazdy), nie ulega zmianie. Te proste warunki ułatwią nam jednoznaczne zdefiniowanie wielkości niedoboru masy. By zdefiniować defekt masy zauważmy, że równy jest zeru, jeśli energia potencjalna układu jest maksymalna i równa zeru. Oczywiście w tych warunkach także masa układu jest maksymalna. (w innych warunkach energia potencjalna jest ujemna.)  Ma to miejsce, gdy odległość między naszymi punktami materialnymi dąży do nieskończoności. Innymi słowy, między ciałami nie ma żadnego kontaktu. Czy tylko w tym przypadku? Zobaczymy dalej.

Gdy odległość między punktami równa jest r, energia potencjalna układu równa jest: 

                                                                  E_p(r) = – Gm₁m₂/r                        (2)

Przyrost energii potencjalnej układu gdy odległość między punktami dąży do nieskończoności, równy jest: 

0 – E_p(r) 

  

O tyle też wzrasta masa układu, czyli:                                                          

                                                                      0 – E_p(r) = Δmc²                                 (3)

Tej masy brak było, gdy odległość wynosiła r. Mamy więc niedobór masy w tym punkcie. Uwzględniając wzory (2) i (3) mamy:                                                            

                                                                 Δm[kg] = Gm₁m₂/rc²                         (4)

Oczywiście Δm jest niedoborem (absolutnym) masy układu dwóch punktów materialnych, odpowiadającym wzajemnej odległości między nimi, równej r. O to nam chodziło.

Przykłady obliczeń.

1. Oblicz deficyt masy układu dwóch punktów materialnych, których jednakowe masy wynoszą 1kg, a odległość miedzy nimi równa jest 1 m

Rozwiązanie:

Podstawiając do wzoru (4) otrzymyjemy: Δm = 7,41·10^-28kg. To bardzo mało. Nic dziwnego, że efekt ten jest niewykrywalny, tym bardziej, że się go nawet wcale nie oczekuje. Inna sprawa, że wielkość: 

                                                    Δm·c² = 66,69·10^-12J ≈ 41,88MeV

Jest wielkością już mierzalną. Można więc pokusić się o doświadczalne sprawdzenie tego przewidywania. Jeśli ktoś zechce, mogę służyć moralnym wsparciem.

2. Jaki jest niedobór masy układu Ziemia-Słońce?

Rozwiązanie:

Dane:   m = 6·10²⁴ kg (masa Ziemi)

 M = 2·10³⁰ kg (masa Słońca) 

              r = 5·10¹⁰ m  (średnia odległość Z-S)

Potraktujmy te ciała jako punkty materialne (kształt kulisty i odpowiednio duża odległość). Otrzymujemy: Δm = 6·10¹⁶ kg. Czy to dużo? To masa sześcianu o krawędzi ok. 23 km, o gęstości 5g/cm³ (zbliżonej do gęstości Ziemi). Energia równoważna tej masie spowodowałaby usunięcie Ziemi z Układu Słonecznego. Nic dziwnego, przecież niedobór masy równy jest energii wiązania.

Przy tej okazji wykonać możemy fikuśne obliczonko. Niech energia wiązania (równa niedoborowi masy), równa jest jakiejś energii kinetycznej. Z jaką prędkością początkową Ziemia musiałaby się oddalać radialnie od Słońca, by się od niego uwolnić? Oczywiście z prędkością ucieczki. Czy to otrzymamy?

                                       Δmc² = GMm/rc²·c² = mv²/2  ó  v = (2GM/r)^1/2

Otrzymaliśmy. 

3. Jaki jest średni deficyt masy układu Merkury-Słońce?

Okazuje się, że: Δm = 8,6·10¹⁵ kg. Wybrałem tę planetę nieprzypadkowo. Jak wiadomo, „zbyt duże” zauważone wcześniej przesunięcie perihelium orbity tej planety dało asumpt do testowania ogólnej teorii względności (z wynikiem pozytywnym). Jak wiadomo, zgodnie z tą teorią, grawitacja traktowana jest w kategoriach geometrycznych – powoduje zakrzywienie przestrzeni. Interesujce, co otrzymamy, jeśli podejdziemy do zagadnienia inaczej, zgodnie z teorią Newtona, oczywiście po uwzględnieniu deficytu masy grawitacyjnej układu. Może wówczas otrzymamy ten sam efekt? Oto jeszcze jedna możliwość sprawdzenia (falsyfikowalność). Gdyby okazało się, że rzeczywiście..., oznaczałoby to, że samo zakrzywienie przestrzeni nie jest faktem fizykalnym, a przestrzeń nie jest autonomicznym bytem. Sama OTW byłaby genialnym patentem, procedurą obliczeniową o dużym znaczeniu praktycznym. Nota bene, to samo można by było powiedzieć także o mechanice kwantowej. To jednak nie wynika bezpośrednio z naszych aktualnych rozważań. O perspektywach poznawczych tego wszystkiego lepiej nie mówić, tym bardziej, że jedną z istniejących możliwości jest jakiś fatalny błąd (oczywiście mój).

     Tu warto się uspokoić. Otrzymane przez nas wartości niedoboru masy układów, to przecież wartości energii potencjalnej grawitacyjnej, wyrażone w jednostkach masy i z przeciwnym znakiem (plus). „Więc cóż tu nowego, przecież to tylko trywialna zabawa wzorkami?” Nawet jeśli tak to odbierasz czytelniku, zauważ, że sens tego, po uwzględnieniu nowej definicji masy grawitacyjnej jest nieco głębszy. Wszak masę grawitacyjną zdefiniowaliśmy jako masę układu, a nie jako masy ciał z osobna. To, jak zobaczymy, doprowadzi do modyfikacji prawa newtonowskiego i do wyników nawet zaskakujących i wcale nie sprzecznych z oczekiwanymi na bazie OTW. Można też przypuszczać, że w układach skali astronomicznej, niedobór masy może manifestować się określonymi efektami obserwacyjnymi. A to czyni „teorię” falsyfikowalną. Zdawałoby się: drobny formalny zabieg kosmetyczny (jak mawiają chirurdzy).

Ale nie uprzedzajmy faktów.