Podstawy newtonowskiej teorii grawitacji. Swobodne spadanie

    W poprzednich postach niejednokrotnie wspominałem o grawitacji dualnej. Co to takiego? Właśnie tym się zajmiemy. To dla mnie wyzwanie niełatwe, gdyż tym razem aspekt ilościowy, matematyczny stanowi meritum.  Ograniczę się do koniecznego minimum – gotowe wzory, bez wyprowadzeń. Najważniejsza bedzie ich interpretacja. Same wzory bedą dla tych, którzy preferują stronę matematyczną przekazu.

  Zaczynam od wyłożenia podstawowych zagadnień newtonowskiej teorii grawitacji, od pojęć, którymi posługiwać się będę dalej.

  Ta krótka seria wpisów przedstawia elementy newtonowskiej teorii grawitacji, z tym że w ograniczeniu do zagadnienia dwóch ciał, w dodatku tylko w aspekcie statycznym. Stanowi on bowiem wprowadzenie do artykułu o grawitacji dualnej, w którym, nota bene dokonana zostanie modyfikacja prawa newtonowskiego. Będzie to pomost między tym, czego naucza się (właściwie należałoby nauczać) w liceum, [Dziś w przeciętnym liceum o grawitacji głucho, za to każde zdarzenie szkolne uświetnia msza święta. Jeszcze trochę, a zaczną spalać na stosie czarownice. Nauczyciele fizyki wolą siedzieć cicho. Nawet Kopernika (zza grobu) ogarnia strach.] a tym, czego doświadcza (lub nie) student wyższej uczelni – na Fizyce od samego początku dominują zmagania z nawałem matematyki, a na refleksję nad fizyczną treścią, w szczególności zagadnień podstawowych, już nie ma czasu (a nawet motywacji).

1. Swobodne spadanie i podstawowe wnioski.

    Łatwo wykazać doświadczalnie, że przyśpieszenie swobodnego upadku ciał nie zależy od ich masy. Przyjmuje się, że jako pierwszy odkrył to Galileusz. Prowadzi to do wniosku, że siła oddziaływania grawitacyjnego (rozważamy dwa ciała o symetrii kulistej) jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas. Tu bazujemy na drugiej i trzeciej zasadzie dynamiki (ciała oddziałujące ze sobą są sobie absolutnie równoważne, ich względne rozmiary i masa nie mają żadnego znaczenia). Siła, z jaką oddziaływują ze sobą te dwa ciała zależy też od ich wzajemnej odległości. Na bazie rozważań geometrycznych sądzić można, że siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Chodzi o to, że stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa, kwadratowi stosunku długości odpowiednich odcinków. Dodajmy do tego, że miejsce geometryczne punktów jednakowo oddalonych od wybranego punktu jest sferą, a „przekaz” grawitacyjny jest tym bardziej rozproszony, im powierzchnia, do której dociera, jest większa, to znaczy dalej. Większe rozproszenie tego przekazu oznacza mniejszą siłę. Tak to można w sposób poglądowy przedstawić. Mamy więc wzór:

Takie postawienie sprawy prowadzi do określonych antycypacji sprawdzalnych (i sprawdzonych) w obserwacji astronomicznej. Dla otrzymania wzoru należało znaleźć wartość współczynnika proporcjonalności. Nosi on nazwę stałej grawitacji. Wyznaczono go doświadczalnie (np. Cavendish). Wynosi: 

Ostatecznie mamy:

Rozwinięcie tej koncepcji na układy dynamiczne dwóch ciał prowadzi do wyników zbieżnych z wnioskami, do jakich doszedł Kepler analizując wyniki obserwacji ruchów planet, dokonanych przez Tychona Brahe (prawa Keplera). Dodatkowo prowadzi do tzw. Problemu Keplera, którego rozwiązanie daje możliwości, których Kepler nie mógł przewidzieć.