4. Prawa Keplera

     Przez dwadzieścia lat astronom duński Tycho Brahe (1546-1601) prowadził swe obserwacje ruchów planet na przyznanej mu  przez króla Fryderyka II wyspie Hven nieopodal Kopenhagi. Obserwatorium astronomiczne, jakie zbudował dzięki mecenatowi króla, należało w owym czasie  do najnowocześniejszych w Europie.  Pozwalało na wyjątkowo precyzyjne pomiary zmian położeń planet. Astronom zebrał spory materiał obserwacyjny. Gdy popadł w niełaskę nowego króla Chrystiana IV, opuścić musiał swą wyspę. Wyjechał do Niemiec zabierając ze sobą dokumentację badań. W roku 1599 osiadł w Pradze. Tam spotkał Johannesa Keplera (1571-1630). Współpraca z nim trwała jednak stosunkowo krótko. Zmarł w roku 1601. Kepler dysponował więc całą dokumentacją z dwudziestoletnich obserwacji. Był matematykiem, ale zajmował się też astrologią, dla której astronomia obserwacyjna stanowiła bazę. Znał dobrze dzieło Kopernika i podzielał jego poglądy. W jego czasach fizyka, jako filozofia przyrody wprost doktrynalnie oddzielona była od astronomii, on jednak nazwał zbiór konkluzji, do jakich doszedł, mianem fizyki niebieskiej, a właściwie niebiańskiej, gdyż widział w odkrytych przez siebie prawidłowościach dzieło Boga, a matematykę traktował jako boski klucz do prawdy. Odkrył ciekawą geometryczną prawidłowość odległości planet od Słońca, mianowicie powiązał je z wielościanami foremnymi: czworościanem, sześcianem, ośmiościanem, dwunastościanem i dwudziestościanem. To tak, jakby odkrył rodzaj skwantowania orbit planetarnych, choć oczywiście wiązał to z „boskim planem”. Ze swej koncepcji sfer określonych przez wielociany nie zrezygnował pomimo licznych uściśleń, które wprowadzać musiał w trakcie pracy nad materiałem obserwacyjnym zgromadzonym przez Tychona. [Tak na marginesie, Ijon Tichy, postać z utworów Stanisława Lema, zawdzięcza swe nazwisko astronomowi duńskiemu.]

     Kepler znał prace Galileusza, nawet podjął badania nad optyką lunet. Jednak największym, jak się historycznie okazało, dziełem Keplera były odkryte przez niego, na podstawie obserwacji Tychona, prawa ruchu planet. Właśnie ten temat nas interesuje szczególnie. Swe trzy prawa ruchu planet przedstawił w pracy zatytułowanej: Astronomia nova. Praca ta została zaakceptowana w środowisku astronomów. Interesujace, że Galileusz i Kartezjusz pracę tę raczej zignorowali, być może z powodu wyraźnych różnic w zapatrywaniach filozoficznych.

     Oto sformułowanie trzech praw Keplera, do których doszedł na podstawie analizy danych zebranych przez Tychona Brahe.

I prawo:

Planety okrążają Słońce po orbitach eliptycznych. W jednym z ognisk elipsy znajduje się Słońce.

II prawo:

Promień wodzący od planety ku Słońcu zakreśla równe pola w jednakowych odstępach czasu. Innymi słowy: prędkość polowa określonej planety jest słała. Przedstawia to rysunek.

III prawo:

Kwadraty okresów obiegu planet wokół Słońca mają się tak do siebie, jak sześciany ich średniej odległości od Słońca.

Zapisać to można następująco:

Interesujące, że dopiero kilkadziesiąt lat po ogłoszeniu tych praw, Christian Huygens odkrył „siłę” odśrodkową, dzięki czemu Newton mógł udowodnić odwrotną proporcjonalność siły grawitacyjnej do kwadratu odległości. Uzasadnienie tego podane wyżej ma charakter bardziej intuicyjny.

     Prawo grawitacji Newtona, wraz z jego prawami ruchu, jeśli są słuszne, powinny być konsystentne z empirycznymi prawami Keplera. Spróbujmy dojść do trzeciego prawa Keplera na bazie praw Newtona.

Wychodzimy z trzech znanych wzorów:

1. Natężenie pola grawitacyjnego:

2. Przyśpieszenie dośrodkowe orbitalne (orbita kołowa):   

3. Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym po okręgu:

Otrzymujemy więc:

Dla dwóch różnych planet otrzymujemy zależność podaną wyżej (*).

Choć tu ograniczyliśmy się do orbit kołowych, od razu dostrzegamy ważność odkrytej zależności. Dla przykładu, obliczmy masę Słońca. Korzystamy z danych: T = 1 rok, 

r = 150.000.000km. Wychodzi: 2·10³⁰ kg. Kto nie wierzy, niech sprawdzi.

Tak można na przykład obliczać masy gwiazd tworzących układy podwójne. Oczywiście w odniesieniu do układów bardziej złożonych, ten prosty rnachunek nie wystarcza, ale zasada jest ta sama.

   Tak otrzymaliśmy potwierdzenie zbieżności, a tym potwierdzenie słuszności newtonowskiej teorii grawitacji. Jak zobaczymy później. Zakres tej teorii (jak każdej innej) jest ograniczony. Rolą nauki jest między innymi poszerzanie zakresu adekwatności teorii. Znaną powszechnie próbę stanowi ogólna teoria względniości. W tej pracy zrobimy jednak coś innego, mianowicie dokonamy modyfikacji teorii newtonowskiej – dużo skromniej, choć wyniki są dosyć obiecujące, w dodatku nawet zbieżne z otrzymywanymi na bazie ogólnej teorii względności. Zobaczymy to już niebawem.