7. Praca i energia potencjalna w polu o symetrii radialnej

    1° Praca od punktu (1) do punktu (2). Jeśli mamy pole radialne (niejednorodne), rozważamy pracę na bardzo krótkich odcinkach, nie koniecznie wzdłuż linii radialnej, gdyż liczą się odległości poczatkowa i końcowa od źródła pola, w związku z jego zachowawczością. W kierunku radialnym praca jest ta sama. Można to zapisać następująco:

                                                                 dW = – Fdr    

By obliczyć pracę w tym przypadku należy wyrażenie po prawej stronie scałkować:

Otrzymujemy więc:                

    2° Praca przeniesienia do nieskończoności. W tym przypadku punkt (2) znajduje się bardzo daleko, czyli r₂ → ∞ . Otrzymujemy więc:

  3°   Energia potencjalna oddziaływania ciała o masie m z ciałem o masie M, jeśli odległość między nimi (traktowanymi jako punkty materialne) wynosi r. Korzystamy ze wzoru (3), definiującego energię potencjalną, przy tym rozważamy pracę przeniesienia do nieskończoności. W przypadku tym energia potencjalna w punkcie bardzo odległym jest nam znana i równa zeru. To zapewnia jednoznaczną zależność energii od położenia, od wzajemnej odległości ciał. Matematycznie wyrażamy to następująco:

Otrzymujemy więc:

 Jak widać, energia potencjalna równa jest pracy przeniesienia do nieskończoności. Wykorzystamy to.

  4°   Zasada zachowania energii podczas ruchu swobodnego w polu grawitacyjnym.

Łatwo wykazać, że podczas swobodnego ruchu ciała w polu grawitacyjnym, maleniu energii kinetycznej podczas ruchu „do góry” towarzyszy wzrost energii potencjalnej (mniejsza wartość liczby ujemnej) – o tyle samo. Odwrotnie ma się sprawa podczas ruchu „ku dołowi”. Łączna zmiana energii kinetycznej i potencjalnej jest więc równa zeru. Zapisujemy to następująco:

  5° Prędkość ucieczki. Odpowiedzmy na pytanie: Jaka powinna być prędkość początkowa ciała wyrzucanego z powierzchni planety (gwiazdy) o promieniu r, aby już nie mogło wrócić? Powinna to być prędkość na tyle duża, by zmalała do zera dopiero w nieskończoności – końcowa energia kinetyczna dąży do zera. Także końcowa energia potencjalna dąży do zera, bo tam gdzieś kończy się zasięg oddziaływania. W tej sytuacji zasadę zachowania energii (wzór (6)) zapisać można następująco:

                                                                   E_p = – E_k                

Kontynuując rzecz mamy:

Daje to:

Prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi, nazywana drugą prędkością kosmiczną, wynosi 11,2 km/s. Bystry uczeń od razu zauważa, że „to nie całkiem tak”. Przecież ciało trzeba rozpędzać i potrzebny jest na to określony czas. Dla rozpędzenia ciała na przykład na drodze 10 metrów do takiej prędkości, potrzebna jest ogromna siła rozpędzania, liczona na miliony niutonów. Należy więc wydłużyć w znacznym stopniu czas rozpędzania. Ciało znajdzie się więc na tyle wysoko, że prędkość ucieczki będzie już mniejsza. Łatwo tę rzecz zilustrować odpowiednimi rachunkami. To pozostawiam czytelnikowi. Ta rzecz dotyczy ciał masywnych. A co ze światłem?

     Szczególne znaczenie ma obliczenie promienia obiektu, z którego powierzchni prędkość ucieczki równa jest (granicznej) prędkości światła. To jego promień grawitacyjny (R). Wynosi on:

Obiekt, ktorego promień równy jest promieniowi grawitacyjnemu nazywany jest czarną dziurą. Obiektom takim poświęcimy trochę miejsca w odpowiednim czasie.