11. Modyfikacja prawa newtonowskiego. Cz. 2

W pełni uzasadniony jest więc sąd, że (wracamy do naszego wzoru (10)) gdy odległość między naszymi punktami jest jeszcze mniejsza, czyli: r < R/4, powinno działać odpychanie. Jeśli nie odpychanie, lecz przyciąganie, to siła (przyciągania), zgodnie ze wzorem (10), powinna, w miarę dalszego zbliżania, rosnąć i dążyć do nieskończoności dla odległości zerowej. Ale to przecież przeczy faktom. Wszystko uległoby bowiem natychmiast grawitacyjnej zapaści. Jak w ogóle mogło powstać? – pytanie wcale nie najgłupsze. Po prostu, nie istnielibyśmy. Wniosek: Odpychanie grawitacyjne istnieje. Nasz wzór (10) należy jednak uzupełnić o współczynnik uwzględniający możliwość odpychania. Oto on: 

                                     Γ = 1 gdy  r ≥ R/4,  oraz Γ = – 1 gdy  r < R/4 

Otrzymujemy więc ostateczną formę zmodyfikowanego prawa Newtona (z angielska: MNL – Modified Newtonian Law) powszechnej grawitacji dla układu dwóch identycznych punktów materialnych :

By uprościć to wyrażenie warto wyrazić (zmienną) odległość między naszymi punktami jako: r = xR  (x > 0). Otrzymujemy więc:

Teraz skorzystamy ponownie ze wzoru na promień Schwartzschilda. Otrzymamy stosunkowo prostą funkcję zmiennej x:

   Jak widzimy, wzór ten nie zawiera masy. Jest on więc nawet uniwersalny. To bardzo ważna okoliczność, która może oznaczać potwierdzenie słuszności obranej drogi.

[Kto nie zna rachunku różniczkowego, może poniższe działania matematyczne pominąć i przejść od razu do wyniku.]

    Pochodna tej funkcji posiada miejsca zerowe w punktach:

W punkcie x₁ mamy maksimum, natomiast x₂ jest punktem przegięcia (po uwzględnieniu współczynnika G). Funkcja posiada asymptotę pionową: F → – ∞ gdy x → 0. Oto wykres naszej funkcji.  

   Znamienne jest to, że rozwiązania  równania – zerowanie się pochodnej (punkt zerowy i ekstremum) są tak klarowne. To bardzo ważne. To chyba znak, że jesteśmy na dobrym tropie. Gdyby rozwiązaniem były na przykład liczby niewymierne lub co gorsza, gdyby nie było rozwiązania jednoznacznego, albo nawet w ogóle nie byłoby rozwiązania, byłby to znak, że poszliśmy w złym kierunku. Wszak po przyrodzie oczekujemy, że jest rodzajem ideału, do którego zmierzają wszystkie Jej opisy; nawet te różniące się zdecydowanie między sobą; że stanowi jedność samą w sobie. Tak, to bardzo ważne, że właśnie taki wynik otrzymaliśmy. 

    Interesujące, jaka jest szczytowa wartość siły (maksimum na wykresie), wyrażona w niutonach. By to zbadać podstawiamy:

x = 1/2 do wzoru (12). Oto co otrzymujemy:

Wynik bardzo interesujcy. Siła maksymalna nie zależy od masy ciał oddziaływujących. Jest stałą uniwersalną. Mogą to być dwa pyłki kurzu, a także dwie gwiazdy (jeśli nie brać pod uwagę ich rozmiarów). Jaka jest wartość liczbowa tej siły? Łatwo obliczyć: 3·10^43N. To dosyć dużo. Dla porównania, dwie gwiazdy jak Słońce, gdy odległość między ich środkami równa jest 1 milion km, przyciągają się z siłą równą 26,7·10^31N (bez uwzględnienia deficytu masy). To znacznie mniej. Zatem oddziaływanie grawitacyjne u źródeł wcale nie jest takie słabe.

  Czy jest to siła absolutnie największa? Wyniki pewnych rozważań uzasadniają odpowiedź twierdzącą, choć większa okaże się maksymalna siła odpychania. [Jeśli istnieje maksymalna siła odpychania, to sama funkcja nie posiada asymptoty pionowej (mamy tam absolutne minimum funkcji). To bardzo ważne z punktu widzenia przyrodoznawczego. Jeszcze do tego wrócimy.] Istnieje zatem siła graniczna, siła największa, tak, jak istnieje prędkość granicznie wielka. Jak widać, doszliśmy do ciekawych rzeczy tak z punktu widzenia fizykalnego, jak i filozoficznego. Przyjrzyjmy się znów wykresowi. Zauważamy, że w przedziale [1/4,1/2], w miarę zbliżania się punktów, siła przyciągania maleje. Co nam to przypomina? Tak, asymptotyczną swobodę, opisaną w poprzednim poście. Mamy więc wyjaśnienie przewidywania (Wilczek & sp.) potwierdzonego doświadczalnie. Mamy potwierdzenie słuszności grawitacji dualnej!