13A. Potencjał grawitacyjny układu dwóch punktów materialnych.

Dla przypomnienia, potencjał grawitacyjny w punkcie odległym o r od punktu materialnego o masie m, wyraża się wzorem:

                                                               φ = – Gm/r

Graficznie potencjał grawitacyjny wokół punktu materialnego przedstawić można w postaci studni o charakterystycznym kształcie (patrz rysunek). 

Widać tu, że potencjał jest tym większy (ujemny), im bliżej znajdujemy się od punktowego źródła pola i dąży do minus nieskończoności w samym centrum (punkcie). Przypomina to osobliwość. W rzeczywistości nie istnieje ciało (punkt) odosobnione w sposób absolutny, a punkt materialny jest tylko idealizacją, nie mającą odpowiednika w Przyrodzie. A może istnieje twór elementarny absolutnie... wówczas oczywiście absolutnie nie można mówić o osobliwości. To rzecz godna uwagi dla każdego, kto pragnie opisać Przyrodę rzeczywistą. „Lejek” na naszym rysunku w rzeczywistości posiada więc swe dno, gdyż wszelka materialna (i polowa) małość ma swój kres absolutny. Tak sądzę, a w sądzie tym nie jestem osamotniony. Osobliwości nie ma, nawet jeśli równania pola prowadzą do niej. Widocznie gdzieś tam głęboko załamuje się ich adekwatność z realną przyrodą. Nie krępujmy się. W podobnym duchu prowadzić będę rozważania w artykułach następnych. Pamiętamy też, że założenie istnienia bytu absolutnie elementarnego wyjaśnia równoważność, a nawet równość masy grawitacyjnej i masy bezwładnej. Na tę równość zwróciłem uwagę już wcześniej. Równość ta wiązana jest z zasadą równoważności zapostulowaną przez Einsteina. Było już na ten temat. Dodam, że równość ta dotyczy zwartych ciał. Nowa definicja masy grawitacyjnej nieco zmienia podejście. 

   A gdy mamy do czynienia z układem dwóch (lub więcej) punktów materialnych? W dodatku ciasnym? Gdy punkty materialne tworzące układ są wystarczająco zbliżone do siebie, rozkład potencjału jest inny (patrz rysunek). 

Jest to oczywiście idealizacja, tak, jak idealizacją jest punkt materialny. Istotne jest to, że w środku masy układu studnia potencjału oczywiście nie jest nieskończenie głęboka. Jaka jest wartość potencjału w tym punkcie? To naturalne pytanie. Zajmiemy się tym problemem, uwzględniając jednak defekt masy układu, jak pamiętamy, zależny on od wzajemnej odległości punktów. Właśnie, układu. W rozważaniach poniżej uwzględnimy nową definicję masy grawitacyjnej jako masy układu. Wiemy, że w tej sytuacji, w miarę zbliżania się do siebie jego elementów, masa maleje i może być nawet ujemna. O osobliwości nie ma mowy. Wymaga to zupełnie innego podejścia.

Właśnie takie stawianie sprawy powinno mieć istotny wpływ na wynik naszego badania – na wielkość potencjału. Sądzić można, że im odległość jest mniejsza, tym wpływ ubytku masy na wartość potencjału w tym punkcie jest większy. Zmodelujemy to matematycznie. Załóżmy, że dwa punkty materialne o jednakowych masach tworzą odcinek AB = r, jak na poniższym rysunku. Obliczymy potencjał („klasyczny”) w środku odcinka AB,  w punkcie O. 

Potencjał jest wielkością skalarną, więc potencjały pola od poszczególnych jego źródeł po prostu sumują się. Wyrażamy to następująco:

By pogłębić spojrzenie na sprawę, odejdźmy na chwilkę od głównego nurtu rozważań. Obliczmy potencjał pola w punkcie oddalonym o promień Schwartzschilda od pojedyńczego punktu materialnego. Oto obliczenie: 

Jak się przekonamy, ten właśnie wynik otrzymamy też jako potencjał na powierzchni horyzontu grawitacyjnego konkretnego obiektu. Identyczny z tym wynik otrzymamy też jako potencjał Wszechświata, z tym, że w każdym jego punkcie, nie tylko na linii horyzontu. Tym właśnie różni się Wszechświat od jakiegokolwiek układu. Pośrednio stanowi to potwierdzenie tezy, że Wszechświat jest Wszystkim, jest jednością i jedynością (nie stanowi elementu jakiegokolwiek układu). Rozważania na ten temat prowadzić będziemy szczególnie w artykułach poświęconych oscylacjom Wszechświata. Swoją drogą zbieżność tych wyników świadczyć może o słuszności obranej drogi. W dodatku znów ocieramy się o unifikację dwóch oddziaływań (grawitacyjnego i elektromagnetycznego – w związku z obecnością stałej c w otrzymanym wyrażeniu. Można sądzić, że są to oddziaływania najbardziej elementarne. Jednak na unifikację tę natrafiamy w skali odpowiednio małej . (Przecież nawet kwarki już posiadają ładunek.) Trzeba więc zejść jeszcze niżej. Wierzę w to, że także tam znane nam prawa przyrody zachowują swą moc. Przyroda, swymi prawami, w swej istocie, jest identyczna we wszystkich skalach organizacji bytu.

Powróćmy do układu dwóch punktów materialnych. Są one na tyle zbliżone do siebie, że niedobór masy układu jest znaczący. Z tego właśnie powodu masa układu w miarę jego zacieśniania się, jest coraz mniejsza. Osłabieniu ulega też pole grawitacyjne wokół niego. Można też powiedzieć, że wzrasta pole (inne) „antygrawitacyjne”. Pole to posiada więc swój potencjał. Jest to potencjał niedoboru masy: 

                                                             φ* = φ(Δm)                                  (18)

Określić go należy dokładnie w środku masy układu, bo przecież reprezentuje układ, a nie któryś z jego elementów. Proponuję, by zdefiniować go  następująco: 

Jest to, jak widać potencjał dodatni. Oczywiście r jest odległością między naszymi punktami materialnymi. Definicja ta dotyczy, jak widać, przypadku specyficznego jednakowych mas obydwu punktów materialnych, stąd w mianowniku widnieje połowa odległości między nimi. Oczywiście wzór ten traci sens w przypadku pojedyńczego ciała. Przy określaniu potencjału pola w środku masy układu, w zależności od odległości wzajemnej punktów materialnych należy więc uwzględnić także potencjał ubytku masy. Dla omówionych poniżej przypadków, wobec bardzo małej przecież odległości między punktami (rzędu promienia grawitacyjnego) środek masy reprezentuje układ dla stosunkowo odległego obserwatora zzewnątrz.

Potencjał całościowy można więc określić następująco:

                                                                Φ = φ + φ*                               (20)

Obliczymy go dla trzech przypadków reprezentatywnych (w środku masy układu):

a)  r = R_s (jednego z punktów). W tym przypadku: Δm = 1/2m. Łatwo to wykazać. Wystarczy wzór na niedobór masy. Zapraszam. Obliczamy dwa potencjały składowe (wzory (16) i (19)): 

Zatem:

Oznacza to istnienie przyciągania między elementami układu, (przynajmniej jak na razie). Sam układ na zewnątrz wywiera działanie przyciągające. 

b) r = 1/2R_s. W tym przypadku: Δm = m. Otrzymujemy więc:

Także w tym przypadku układ przyciąga, o dziwo, nawet silniej (materia bardziej skondensowana). Wiemy już, że odległości tej odpowiada też maksymalna siła wzajemnego przyciągania. Wszystko się zgadza.

c)  r = 1/4R_s . Łatwo wykazać, że tym razem Δm = 2m, otrzymujemy zatem:

W tym przypadku następuje przełom. Układ zamyka się grawitacyjnie, po prostu znika, by w przypadku dalszego zbliżania się wzajemnego naszych punktów materialnych, „ukazać się” w całej swej odpychającej postaci. Odpychająca czerń. Można więc to coś wykryć (choć jest czarną dziurą w quasiklasycznym zrozumieniu). Jako czarna dziura jednak nie przyciąga, lecz odpycha. „Ciemna energia”? Niech ci będzie.

Zamiast rozpatrywać przypadki szczególne, mogliśmy od razu znaleźć odpowiednią funkcję i zbadać ją. Zadecydowały względy pedagogiczne. Ale nie jest za późno. Przedstawmy więc naszą funkcję:

Podstawmy teraz: r = xR_s , 2Gm/R_s = c² ; Otrzymujemy ostatecznie:

Zainteresowany czytelnik może sobie tę funkcję zbadać (licealista – powinien, po reformie oświaty, niedoczekanie). Czy otrzymaliście taki właśnie wykres? 

Widzimy na nim, że po przekroczeniu wartości ekstremalnej (-2c²), przy dalszym zbliżaniu do siebie punktów materialnych, wykres potencjału przecina oś OX (punkt zerowy) i dalej jako dodatni bardzo szybko rośnie. Czy asymptotycznie ku nieskończoności? Czytelniku, masz zadanie domowe.

    Mamy tu pełną zgodność z wynikami naszych poprzednich rozważań.