13. Energia potencjalna oddziaływania dwóch punktów materialnych po uwzględnieniu niedoboru masy grawitacyjnej.

Oprzemy się na newtonowskim modelu oddziaływania grawitacyjnego dwóch punktów materialnych. Uwzględnimy jednak deficyt masy grawitacyjnej, dający o sobie znać przy odpowiednio małych odległościach. Dla przypomnienia, nie jest on wykrywalny w skali naszej percepcji. Nie znaczy to, że nie istnieje. Skorzystamy ze znanych już wzorów:

Dla prostoty nie mającej wpływu na istotę rzeczy, zakładam, że mamy układ grawitacyjny dwóch identycznych punktów materialnych. Obliczymy energię potencjalną ich oddziaływania, uwzględniając przy tym istnienie niedoboru masy grawitacyjnej. Wykorzystamy oznaczenia wprowadzone wcześniej. Otrzymujemy więc: 

Jak widać, uwzględniliśmy tu już współczynnik Γ, gdyż energia potencjalna odpychania jest dodatnia. Pamiętając o tym, że: 2Gm/c² = R, oraz: r = rx (jak to już robiliśmy obliczając wielkość siły, otrzymujemy: 

Zachęcam do sprawdzenia. Zbadajmy tę funkcję. Łatwo wykazać, że jej pochodna zeruje się w punktach:

                                                            x = 3/4     i     x = 1/4

przy tym, dla x → ∞ energia potencjalna dąży do zera, a dla x → 0, energia potencjalna dąży do +∞ (po uwzględnieniu Γ = – 1 dla x < 1/4). Mamy więc wartości energii potencjalnej w znalezionych punktach: 

W pierwszym przypadku mamy minimum, a w drugim mamy punkt przegięcia.

Oto wykres:

Badając rzecz, z początku, byłem w sporym napięciu. Wynik w postaci np. liczby niewymiernej, byłby nawet uzasadnionym powodem do odrzucenia koncepcji, a co dopiero brak rozwiązania (wyróżnik ujemny). Kontynuacja badań w tym kierunku nie miałaby sensu. Oczekiwałem wyniku klarownego, jak w przypadku siły. Wynik usatysfakcjonował mnie. Tak przy okazji zauważmy, że (Przypadkowo?) minimalna wartość energii potencjalnej jest trzecią potęgą liczby –2/3. Czy trzecią dlatego, gdyż operujemy w przestrzeni trójwymiarowej? Niech sobie czytelnik poduma. Jeszcze do tego wyniku wrócimy.

   Na razie wróćmy jeszcze do naszego układu. Ciekawe, jakie jest maksymalne zbliżenie punktów materialnych. By to obliczyć, należałoby wykonać następujące doświadczenie myślowe. Początkowa odległość między dwoma punktami materialnymi dąży do nieskończoności (praktycznie bardzo duża). Wtedy masa układu wynosi 2m (a energia potencjalna równa jest zeru). Początek układu współrzędnych stanowi jeden z punktów. Pozostawiamy je sobie. Zaczynają, przyciągając się wzajemnie, zbliżać się ku sobie ze wzrastającą prędkością. Po przekroczeniu odległości równej 1/4R (wtedy masa grawitacyjna układu równa jest zeru), prędkość zaczyna maleć, aż do zatrzymania wskutek odpychania. W jakiej odległości? Mniejsza odległość nie może być – zgodnie z zasadą zachowania energii. Istnieje zatem odległość minimalna. A może pokryją się ze sobą (osobliwość)? Zobaczymy. Podobne rozumowanie przeprowadziliśmy już w poście Nr. 3 tej serii. Łatwo wydedukować (lub wysunąć hipotezę), że energia potencjalna w tym momencie równa jest 4mc². Dlaczego? Dlatego, gdyż początkowa masa (w jednostkach energii) równa 2mc², a końcowa: –2mc² (nie może być wartością większa). Zmiana (malenie) masy grawitacyjnej wynosi więc:

2mc² – (–2mc²) = 4mc²

O tyle, w miarę zbliżania się, zmieniła się energia potencjalna (na początku równa była zeru). Taka jest więc jej wartość w punkcie minimalnej odległości. Zmiana energii potencjalnej równa jest bowiem liczbowo zmianie masy grawitacyjnej.

  Teraz już podstawiająć do wzoru (15) tę wartość energii potencjalnej (4mc²), otrzymujemy odległość (poprzez rozwiązanie otrzymanego równania trzeciego stopnia – jedno i tylko jedno rozwiązanie): x = 1/8R. Zatem nie osobliwość.

   A tak na marginesie, znów zauważmy, że mamy tylko jedno rozwiązanie. Gdyby były dwa lub trzy rozwiązania, należałoby się wycofać z całej tej wielkiej afery, bo przecież równoczesne np. istnienie dwóch (różnych) odległości minimalnych, byłoby absurdem. Z tego powodu, gdy po raz pierwszy liczyłem, byłem w dużym napięciu. A potem, możecie sobie wyobrazić. Dla naukowca to chwile najważniejsze. Przypominam sobie ten podniosły nastrój. To było chyba 15 lat temu.

    Jeśli przy tym podstawimy ten wynik do wzoru na siłę, otrzymamy siłę odpychania 64 razy większą od maksymalnej siły przyciągania (wzór (13)). Zatem nie ma asymptoty. To bardzo ważny wynik, tak od strony fizycznej, jak i filozoficznej.