23. Zagadnienie prędkości. Minimalna odległość między plankonami

Załóżmy, że odległość początkowa między dwoma plankonami jest bardzo wielka (matematycznie dąży do nieskończoności). Pozostawiając jeden z nich w początku układu współrzędnych, możemy powiedzieć, że drugi spada na niego swobodnie pod wpływem siły grawitacyjnej. [Nie uwzględniamy tu obecności innych plankonów, gdyż, jak zwykle, rozważamy przypadek najprostszy, „surowiec”, układ elementarny. Fizyka układów złożonych właściwie nie jest inna, za to aspekt obliczeniowy, nawet w przypadku już trzech elementów staje się dominujący i wymaga już metod aproksymacyjnych. Dla nas istotny jest jedynie aspekt fizyczny, sama koncepcja u jej źródeł. To model przeznaczony do testowania.]

W miarę spadania rośnie siła przyciągania, rośnie więc przyśpieszenie. Interesujące, jaka jest prędkość spadania. W naszym badaniu odpowiemy na trzy pytania, które dotyczą spraw zasadniczych:

1.   Jaka jest odległość między środkami plankonów w momencie gdy prędkość jest  maksymalna?

2.   Jaka jest wartość maksymalnej prędkości?

3.   Jaka jest minimalna odległość między ich środkami w momencie zatrzymania?

  

   Odpowiedź na pierwsze pytanie jest natychmiastowa. Jest to odległość, w której zeruje się siła przyciągania, czyli połowa długości Plancka. By odpowiedzieć na pytanie drugie, przede wszystkim należy obliczyć pracę siły rozpędzającej (aż do momentu, gdy będzie równa zeru) w przedziale od nieskończoności do połowy długości Plancka. Praca ta równa jest przyrostowi energii kinetycznej. Stąd droga do obliczenia prędkości. Można oczekiwać, że prędkość ta osiągnąć może wartości relatywistyczne. To od razu wywołuje poważną obawę co do oczekiwanych w tym przypadku komplikacji obliczeniowych. Głębsze zastanowienie (dzięki tej obawie) prowadzi jednak do konkluzji, że efektu relatywistycznego, w tym przypadku, nie należy brać pod uwagę. W skali plankonowej bowiem efekt ten nie występuje. Masa plankonowa nie podlega relatywistycznemu wzrostowi jako elementarna jednoznacznie i niezmiennicza względem dowolnej transformacji;  niezależna od doboru układu odniesienia. Co istotniejsze, nie musimy obserwować naszego plankonu. Obserwować? Za pomocą fotonów? Tu efekty (obserwacyjne) szczególnej teorii względności są nierelewantne. Poza tym, prawdziwie elementarny twór musi być niezmienniczy! Obliczmy więc pracę:

                                                                     dW =  – Fdr  

Minus tu wyraża fakt, że podczas spadania przemieszczenie jest ujemne gdy praca jest dodatnia (podczas zbliżania się pod działaniem siły przyciągania). W fazie odpychania da o sobie znać czynnik Γ. Podstawmy w powyższym wyrażeniu wartość siły na podstawie wzoru (***) w poście 21. Otrzymujemy: 

                      

By obliczyć prędkość maksymalną, należy wyrażenie to scałkować w odpowiednich  granicach:

Tutaj czynnik Γ jest dodatni, dlatego został pominięty. Obliczamy tę całkę i otrzymujemy co następuje:

gdyż:

Przyjmując:                                  W = ΔE_k  ,  E_k1 = 0  ,  E_k2 = E_k  

otrzymujemy:

Zauważmy, że ze współczynnikiem 2/3 mieliśmy już do czynienia, w artykule traktującym o energii potencjalnej. Pojawia się też w rozważaniach kosmologicznych bazujacych na równaniu Friedmanna (mimo wszystko warto i to zauważyć). Jeśli przyjmiemy za uzasadnioną podstawową definicję energii kinetycznej, co nie powinno stanowić problemu także w odniesieniu do plankonów, otrzymujemy: 

Zatem jest to prędkość większa od prędkości światła. Nie powinno to sprawiać kłopotu w związku z niezmienniczością plankonu (zwróciłem na to uwagę powyżej). Wynik ten odpowiada naszej hipotezie dotyczącej bardzo wczesnej fazy Wybuchu (URELA), choć mowa tu o zbliżaniu się, a nie ekspansji. Zgodnie jednak z zasadą zachowania energii, prędkości te powinny być jednakowe, bo przecież plankon po zatrzymaniu się, rozpędza się pod działaniem siły odpychania. Prędkość otrzymana przez nas, to prędkość względna najbliższych sąsiadów. Prędkość względna elementów najbardziej oddalonych od siebie może być dużo większa. Zwróćmy też uwagę na to, że przy opisie układów złożonych, a był takim przecież Wszechświat wybuchający, proste ekstrapolacje zawodzą. Obliczenie więc tej „dużo większej” prędkości za pomocą aparatu stosowanego tutaj nie jest możliwe, zważywszy także na specyficzną topologię układu, z całą pewnością inną, niż ta nam znana z autopsji, zważywszy na nieliniowość relacji przestrzennych.

Otrzymaliśmy prędkość większą od c. O ile? To łatwo obliczyć. Oto źródło nadmiarowej energii kinetycznej, która zdyssypowała w momencie przemiany fazowej, powołując do istnienia temperaturę. To także rodzaj wskazówki dla oszacowań temperatury początkowej (tej najwyższej w dziejach), a przy tym dla potwierdzenia całej koncepcji. 

Nadszedł czas odpowiedzi na pytanie trzecie: „Jaka jest minimalna odległość?” Plankon nasz zbliżając się przekroczył właśnie punkt, w którym siła zeruje się, a prędkość osiąga wartość maksymalną. Kontynuując swój ruch napotyka na opór. Działa na niego rosnąca w miarę podążania naprzód siła odpychania. Wreszcie zatrzymuje się. Co będzie potem, wiadomo. Nas interesuje minimalna odległość, odpowiadająca zerowej prędkości. By ją obliczyć, zacznijmy od obliczenia wartości pracy (całki) po nowych granicach:

I dalej:

Zwróćmy uwagę, że tym razem czynnik Γ jest ujemny, stąd brak minusa w wyrażeniu na pracę. Dodatkowo, szukaną odległość x wyrażamy za pomocą długości Plancka: x = nL. Naszym celem jest zatem znalezienie wartości n. Zwróćmy więc uwagę na zmianę energii kinetycznej: 

                   

Otrzymujemy więc:

I stąd równanie:

                                                           16n³ – 12n² + 6n – 1 = 0

Posiada ono tylko jedno rozwiązanie: n = 1/4 . Zatem odległość minimalna równa jest ćwierci długości Plancka. Jednoznacznego rozwiązania należało oczekiwać. Brak rozwiązania lub większa, niż jedno liczba rozwiązań, poddałyby w wątpliwość cały mój wysiłek, bo przecież rozwiazanie powinno być jednoznaczne. Sama koncepcja musiałaby być odrzucona. Byłem w związku z tym w sporym napięciu, gdy po raz pierwszy rozwiązywałem to równanie (sprawdzałem wielokrotnie).

Otrzymany wynik był źródłem sporego przeżycia. To, że wynik ten w dodatku zadziwia swą elegancją oznaczać może, że jesteśmy dość blisko prawdy. Ale to jeszcze nie koniec, gdyż zaciekawienie budzi od razu masa grawitacyjna takiego układu. Wyznaczenie jej nie stanowi problemu. Na razie jednak proszę o cierpliwość. Sądzę, że warto najpierw obliczyć energię potencjalną w tym momencie największego zbliżenia. Trzeba się pośpieszyć zanim rozpocznie się odpychanie, by zdążyć przed Wielkim Wybuchem.